Sr Examen

Ecuación diferencial dy/y=dx/(x+1)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
d               
--(y(x))        
dx           1  
-------- = -----
  y(x)     1 + x
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x + 1}$$
y'/y = 1/(x + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \left(x + 1\right)$$
Respuesta [src]
y(x) = C1*(1 + x)
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \left(x + 1\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
linear coefficients
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
linear coefficients Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.564814814814815)
(-5.555555555555555, 0.37962962962963)
(-3.333333333333333, 0.19444444444444492)
(-1.1111111111111107, 0.009259259259259855)
(1.1111111111111107, -0.17592592592592526)
(3.333333333333334, -0.36111111111111016)
(5.555555555555557, -0.5462962962962952)
(7.777777777777779, -0.7314814814814801)
(10.0, -0.916666666666665)
(10.0, -0.916666666666665)