Sr Examen
Ecuación diferencial ydy/dx=4x(64+y^2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d / 2 \ --(y(x))*y(x) = 4*x*\64 + y (x)/ dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)$$
y*y' = 4*x*(y^2 + 64)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{4 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{4 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{4 y^{2} + 256}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 64 \right)}}{8} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{4 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{4 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 64\right)}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{4 y^{2}{\left(x \right)} + 256} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{4 y^{2} + 256}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 64 \right)}}{8} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
Respuesta
[src]
________________
/ 2
/ 4*x
y(x) = -\/ -64 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
________________
/ 2
/ 4*x
y(x) = \/ -64 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{4 x^{2}} - 64}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -6.203481741119146e-10)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 9.144805860439919e-71)
(7.777777777777779, 8.388243567354474e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)