Sr Examen

Ecuación diferencial yy''=3(y')^2

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
  2                          2
 d                 /d       \ 
---(y(x))*y(x) = 3*|--(y(x))| 
  2                \dx      / 
dx                            
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
y*y'' = 3*y'^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - 3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- 3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy'}{3 \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 y'^{2}}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y'
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{3 y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + 3 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} - \int \frac{1}{C_{1} + 3 \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\, dx$$
Clasificación
factorable
Liouville
Liouville Integral