Sr Examen

Ecuación diferencial (1-x)dx-ydy=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
        d                
1 - x - --(y(x))*y(x) = 0
        dx               
$$- x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
-x - y*y' + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x - 1\right)$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(x - 1\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(x - 1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2} - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 x}$$
Respuesta [src]
           _______________
          /       2       
y(x) = -\/  C1 - x  + 2*x 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 x}$$
          _______________
         /       2       
y(x) = \/  C1 - x  + 2*x 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 x}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
linear coefficients
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
linear coefficients Integral