Sr Examen
Ecuación diferencial y^2dx-(x^2+xy)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d d
y (x) - x *--(y(x)) - x*--(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
-x^2*y' - x*y*y' + y^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} + 1\right)}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u + 1}{u}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u + \log{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(x \right)} + 1\right)}{u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u + 1}{u}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u + \log{\left(u \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
Clasificación
factorable
1st homogeneous coeff best
1st homogeneous coeff subs indep div dep
1st homogeneous coeff subs dep div indep
lie group
1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral
1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral