Sr Examen
Ecuación diferencial xsqrt(1+y^2)+ysqrt(1+x^2)y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________
/ 2 / 2 d
x*\/ 1 + y (x) + \/ 1 + x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*sqrt(y^2 + 1) + sqrt(x^2 + 1)*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 1} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 1}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 1} = Const - \sqrt{x^{2} + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
Respuesta
[src]
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/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = -\/ C1 + x - 2*C1*\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
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/ ________
/ 2 2 / 2
y(x) = \/ C1 + x - 2*C1*\/ 1 + x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2}}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral