Ecuación diferencial y=xy'-lny'

Tenemos la ecuación:
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x}}{u{\left(x \right)}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$- \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{du \left(u{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u - 1}{u \left(2 u - 1\right)}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(u \right)} + \frac{\log{\left(u - \frac{1}{2} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{x \left(C_{1} x - \sqrt{C_{1} \left(C_{1} x^{2} - 2\right)}\right)}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{x \left(C_{1} x + \sqrt{C_{1} \left(C_{1} x^{2} - 2\right)}\right)}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1} x}{2} - \frac{\sqrt{C_{1} \left(C_{1} x^{2} - 2\right)}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{C_{1} x}{2} + \frac{\sqrt{C_{1} \left(C_{1} x^{2} - 2\right)}}{2}$$