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Ecuaciones diferenciales/ 1+(y')^2-2yy''=0

Ecuación diferencial 1+(y')^2-2yy''=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior
⌨

Solución

Ha introducido [src] 
              2       2               
    /d       \       d                
1 + |--(y(x))|  - 2*---(y(x))*y(x) = 0
    \dx      /        2               
                    dx
−2y(x)d2dx2y(x)+(ddxy(x))2+1=0- 2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1 = 0 
-2*y*y'' + y'^2 + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
−2y(x)d2dx2y(x)+(ddxy(x))2+1=0- 2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1 = 0
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

donde
f1⁡(x)=1\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1
g1⁡(y′)=1\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1
f2⁡(x)=12y(x)\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}
g2⁡(y′)=(ddxy(x))2+1\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
(ddxy(x))2+1\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1
obtendremos
d2dx2y(x)(ddxy(x))2+1=12y(x)\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}
Con esto hemos separado las variables x y y'.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
dxd2dx2y(x)(ddxy(x))2+1=dx2y(x)\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1} = \frac{dx}{2 y{\left(x \right)}}
o
dy′(ddxy(x))2+1=dx2y(x)\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1} = \frac{dx}{2 y{\left(x \right)}}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
∫1y′2+1 dy′=∫12y(x) dx\int \frac{1}{y'^{2} + 1}\, dy' = \int \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}\, dx
Solución detallada de la integral con y'
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
atan⁡(y′)=Const+∫1y(x) dx2\operatorname{atan}{\left(y' \right)} = Const + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)

La solución:
y′1⁡=y′⁡(x)=tan⁡(C1+∫1y(x) dx2)\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} \right)}
tomemos estas integrales
y1⁡=∫ddxy(x) dx=∫tan⁡(C1+∫1y(x) dx2) dx\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \tan{\left(C_{1} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} \right)}\, dx =
y1⁡=y(x)=C2+∫tan⁡(C1+∫1y(x) dx2) dx\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \tan{\left(C_{1} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} \right)}\, dx
Clasificación
factorable
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