Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^2=21
-
Ecuación x^2+3x-28=0
-
Ecuación 2x^2-9x=0
- Ecuación z^4-16i=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 9*x-8*y=6
- 2*x-5*y=-5
- 20*x-10*y=-13
- 1*x+5*y=-17
-
Expresiones idénticas
- z^ cuatro -16i= cero
- z en el grado 4 menos 16i es igual a 0
- z en el grado cuatro menos 16i es igual a cero
- z4-16i=0
- z⁴-16i=0
- z^4-16i=O
-
Expresiones semejantes
- z^4+16i=0
z^4-16i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{4} - 16 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = 16*i complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = 16 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 16 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z^{4} - 16 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = 16*i complejo,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = 16 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = 16 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
z1 = - 2* / - - ----- + 2*I* / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4
$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
z2 = 2* / - - ----- - 2*I* / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
z3 = - 2* / - + ----- - 2*I* / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4
$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
z4 = 2* / - + ----- + 2*I* / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4
$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
z4 = 2*sqrt(sqrt(2)/4 + 1/2) + 2*i*sqrt(1/2 - sqrt(2)/4)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2
- 2* / - - ----- + 2*I* / - + ----- + 2* / - - ----- - 2*I* / - + ----- + - 2* / - + ----- - 2*I* / - - ----- + 2* / - + ----- + 2*I* / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4
$$\left(\left(- 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\left(2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + \left(- 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) + \left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | |- 2* / - - ----- + 2*I* / - + ----- |*|2* / - - ----- - 2*I* / - + ----- |*|- 2* / - + ----- - 2*I* / - - ----- |*|2* / - + ----- + 2*I* / - - ----- | \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 /
$$\left(- 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$
=
-16*I
$$- 16 i$$
-16*i
Respuesta numérica
[src]
z1 = -0.76536686473018 + 1.84775906502257*i
z2 = 0.76536686473018 - 1.84775906502257*i
z3 = -1.84775906502257 - 0.76536686473018*i
z4 = 1.84775906502257 + 0.76536686473018*i
z4 = 1.84775906502257 + 0.76536686473018*i