-1+8/x^3=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$-1 + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}$$
o
$$\frac{x}{2} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/2

x = 1 / (1/2)

Obtenemos la respuesta: x = 2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{3}} = \frac{1}{8}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = \frac{1}{8}$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$