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4^x-1/2-6*2^x-1+3=0

4^x-1/2-6*2^x-1+3=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 x   1      x            
4  - - - 6*2  - 1 + 3 = 0
     2                   
$$\left(\left(- 6 \cdot 2^{x} + \left(4^{x} - \frac{1}{2}\right)\right) - 1\right) + 3 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(- 6 \cdot 2^{x} + \left(4^{x} - \frac{1}{2}\right)\right) - 1\right) + 3 = 0$$
o
$$\left(\left(- 6 \cdot 2^{x} + \left(4^{x} - \frac{1}{2}\right)\right) - 1\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} - 6 v + \frac{3}{2} = 0$$
o
$$v^{2} - 6 v + \frac{3}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = \frac{3}{2}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (3/2) = 30

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{\sqrt{30}}{2} + 3$$
$$v_{2} = 3 - \frac{\sqrt{30}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Gráfica
Respuesta rápida [src]
        /      ____\
        |    \/ 30 |
     log|3 - ------|
        \      2   /
x1 = ---------------
          log(2)    
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
        /      ____\
        |    \/ 30 |
     log|3 + ------|
        \      2   /
x2 = ---------------
          log(2)    
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
x2 = log(sqrt(30)/2 + 3)/log(2)
Suma y producto de raíces [src]
suma
   /      ____\      /      ____\
   |    \/ 30 |      |    \/ 30 |
log|3 - ------|   log|3 + ------|
   \      2   /      \      2   /
--------------- + ---------------
     log(2)            log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
=
   /      ____\      /      ____\
   |    \/ 30 |      |    \/ 30 |
log|3 + ------|   log|3 - ------|
   \      2   /      \      2   /
--------------- + ---------------
     log(2)            log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
producto
   /      ____\    /      ____\
   |    \/ 30 |    |    \/ 30 |
log|3 - ------| log|3 + ------|
   \      2   /    \      2   /
---------------*---------------
     log(2)          log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
=
   /      ____\    /      ____\
   |    \/ 30 |    |    \/ 30 |
log|3 + ------|*log|3 - ------|
   \      2   /    \      2   /
-------------------------------
               2               
            log (2)            
$$\frac{\log{\left(3 - \frac{\sqrt{30}}{2} \right)} \log{\left(\frac{\sqrt{30}}{2} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
log(3 + sqrt(30)/2)*log(3 - sqrt(30)/2)/log(2)^2
Respuesta numérica [src]
x1 = 2.52070203194786
x2 = -1.9357395312267
x2 = -1.9357395312267
Gráfico
4^x-1/2-6*2^x-1+3=0 la ecuación