x^3+12x^2-4x-48=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(- 4 x + \left(x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) - 48 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 4 x + \left(\left(12 x^{2} + \left(x^{3} - 8\right)\right) - 48\right)\right) + 8 = 0$$
o
$$\left(- 4 x + \left(\left(12 x^{2} + \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) - 12 \cdot 2^{2}\right)\right) + 2 \cdot 4 = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(12 \left(x^{2} - 2^{2}\right) + \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) + 12 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -2 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(12 \left(x + 2\right) + \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 4\right) = 0$$
o
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 14 x + 24\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 2$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 14 x + 24 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 14$$
$$c = 24$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(14)^2 - 4 * (1) * (24) = 100

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -12$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 12*x^2 - 4*x - 48 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -12$$