Sr Examen

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x^3=8

x^3=8 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 3    
x  = 8
$$x^{3} = 8$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{3} = 8$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
o
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x = 2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 8$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -8$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -8$$
Gráfica
Respuesta rápida [src]
x1 = 2
$$x_{1} = 2$$
              ___
x2 = -1 - I*\/ 3 
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
              ___
x3 = -1 + I*\/ 3 
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
x3 = -1 + sqrt(3)*i
Suma y producto de raíces [src]
suma
             ___            ___
2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3 
$$\left(2 + \left(-1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$
=
0
$$0$$
producto
  /         ___\ /         ___\
2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /
$$2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$
=
8
$$8$$
8
Respuesta numérica [src]
x1 = 2.0
x2 = -1.0 - 1.73205080756888*i
x3 = -1.0 + 1.73205080756888*i
x3 = -1.0 + 1.73205080756888*i
Gráfico
x^3=8 la ecuación