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x^3-1=0

x^3-1=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 3        
x  - 1 = 0
x3−1=0x^{3} - 1 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x3−1=0x^{3} - 1 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x33=13\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{1}
o
x=1x = 1
Obtenemos la respuesta: x = 1

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z3=1z^{3} = 1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=1r^{3} e^{3 i p} = 1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=1e^{3 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
y
sin⁡(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=1z_{1} = 1
z2=−12−3i2z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
z3=−12+3i2z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=1x_{1} = 1
x2=−12−3i2x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
x3=−12+3i2x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
px2+qx+v+x3=0p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=−1v = -1
Fórmulas de Cardano-Vieta
x1+x2+x3=−px_{1} + x_{2} + x_{3} = - p
x1x2+x1x3+x2x3=qx_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q
x1x2x3=vx_{1} x_{2} x_{3} = v
x1+x2+x3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
x1x2+x1x3+x2x3=0x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0
x1x2x3=−1x_{1} x_{2} x_{3} = -1
Gráfica
-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-25002500
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
x1 = 1
x1=1x_{1} = 1 
               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2
x2=−12−3i2x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 
               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2
x3=−12+3i2x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
x3 = -1/2 + sqrt(3)*i/2
Suma y producto de raíces [src] 
suma
              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
1 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2
(1+(−12−3i2))+(−12+3i2)\left(1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
/          ___\ /          ___\
|  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
|- - - -------|*|- - + -------|
\  2      2   / \  2      2   /
(−12−3i2)(−12+3i2)\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
1
11 
1
Respuesta numérica [src] 
x1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x3 = 1.0
Gráfico
x^3-1=0 la ecuación
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