Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^2-4x+5=0
-
Ecuación 9-4x=3x-40
- Ecuación y+x-4=0
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Ecuación (x-4)^2-x^2=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -18*x-2*y=9
- 4*x+2*y=5
- -9*x+1*y=3
- 19*x-12*y=16
- Factorizar el polinomio:
- x^3+125
-
Expresiones idénticas
- x^ tres + ciento veinticinco = cero
- x al cubo más 125 es igual a 0
- x en el grado tres más ciento veinticinco es igual a cero
- x3+125=0
- x³+125=0
- x en el grado 3+125=0
- x^3+125=O
-
Expresiones semejantes
- x^3-125=0
x^3+125=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{3} + 125 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
o
$$x = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = 5*(-1)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -125$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
donde
$$r = 5$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 125 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
o
$$x = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -5*1^1/3
Obtenemos la respuesta: x = 5*(-1)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -125$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
donde
$$r = 5$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 125$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 125$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
5 5*I*\/ 3 5 5*I*\/ 3
-5 + - - --------- + - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-5 + \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ |5 5*I*\/ 3 | |5 5*I*\/ 3 | -5*|- - ---------|*|- + ---------| \2 2 / \2 2 /
$$- 5 \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-125
$$-125$$
-125
Respuesta rápida
[src]
x1 = -5
$$x_{1} = -5$$
___
5 5*I*\/ 3
x2 = - - ---------
2 2
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
___
5 5*I*\/ 3
x3 = - + ---------
2 2
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
x3 = 5/2 + 5*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = 2.5 + 4.33012701892219*i
x2 = -5.0
x3 = 2.5 - 4.33012701892219*i
x3 = 2.5 - 4.33012701892219*i