|x|+|x-1|=1 la ecuación

Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$x + \left(x - 1\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 1 < 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$x + \left(1 - x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
la igualdad
la resolución en este intervalo:

3.
$$x < 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x < 0$$
$$x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$- x + \left(1 - x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 0$$
pero x2 no satisface a la desigualdad


Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$