|x-3|+|x+2|-|x-4|=3 la ecuación

Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 4 \geq 0$$
o
$$4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- (x - 4) + \left(x - 3\right) + \left(x + 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 0$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 4 < 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$- (4 - x) + \left(x - 3\right) + \left(x + 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{8}{3}$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

3.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 4 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 4 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

5.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 4 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

6.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 4 < 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) - \left(4 - x\right) + \left(x + 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2$$

7.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 4 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

8.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) - \left(4 - x\right) + \left(- x - 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = -6$$


Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -6$$