(x+2)/(x+3)-(x+1)/(x-1)=4*(x-1)/(x+3) la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{4 \left(x - 1\right)}{x + 3}$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{4 x^{2} - 5 x + 9}{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

denominador
$$x + 3$$
entonces

x no es igual a -3

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- 4 x^{2} + 5 x - 9 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- 4 x^{2} + 5 x - 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 5$$
$$c = -9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-4) * (-9) = -119

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{119} i}{8}$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{119} i}{8}$$
pero

x no es igual a 1

x no es igual a -3

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{119} i}{8}$$
$$x_{2} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{119} i}{8}$$