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4^(x-1/2)-6*2^(x-1)+3=0

4^(x-1/2)-6*2^(x-1)+3=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 x - 1/2      x - 1        
4        - 6*2      + 3 = 0
$$\left(- 6 \cdot 2^{x - 1} + 4^{x - \frac{1}{2}}\right) + 3 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 6 \cdot 2^{x - 1} + 4^{x - \frac{1}{2}}\right) + 3 = 0$$
o
$$\left(- 6 \cdot 2^{x - 1} + 4^{x - \frac{1}{2}}\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$\frac{v^{2}}{2} - 3 v + 3 = 0$$
o
$$\frac{v^{2}}{2} - 3 v + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = -3$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1/2) * (3) = 3

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \sqrt{3} + 3$$
$$v_{2} = 3 - \sqrt{3}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Gráfica
Respuesta rápida [src]
        /      ___\
     log\3 - \/ 3 /
x1 = --------------
         log(2)    
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
        /      ___\
     log\3 + \/ 3 /
x2 = --------------
         log(2)    
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
x2 = log(sqrt(3) + 3)/log(2)
Suma y producto de raíces [src]
suma
   /      ___\      /      ___\
log\3 - \/ 3 /   log\3 + \/ 3 /
-------------- + --------------
    log(2)           log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
=
   /      ___\      /      ___\
log\3 + \/ 3 /   log\3 - \/ 3 /
-------------- + --------------
    log(2)           log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
producto
   /      ___\    /      ___\
log\3 - \/ 3 / log\3 + \/ 3 /
--------------*--------------
    log(2)         log(2)    
$$\frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \frac{\log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
=
   /      ___\    /      ___\
log\3 + \/ 3 /*log\3 - \/ 3 /
-----------------------------
              2              
           log (2)           
$$\frac{\log{\left(3 - \sqrt{3} \right)} \log{\left(\sqrt{3} + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
log(3 + sqrt(3))*log(3 - sqrt(3))/log(2)^2
Respuesta numérica [src]
x1 = 2.24246556383707
x2 = 0.342496936884082
x2 = 0.342496936884082
Gráfico
4^(x-1/2)-6*2^(x-1)+3=0 la ecuación