Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x=(x+1)/2
- Ecuación (x-6)(-5x-9)=0
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Ecuación x^2-14*x+33=0
-
Ecuación 5-x^2=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -17*x-12*y=-9
- 18*x+17*y=-14
- 14*x-10*y=-4
- -17*x-8*y=7
-
Expresiones idénticas
- dos =4sqrt(dos)*(cosx)^ tres
- 2 es igual a 4 raíz cuadrada de (2) multiplicar por ( coseno de x) al cubo
- dos es igual a 4 raíz cuadrada de (dos) multiplicar por ( coseno de x) en el grado tres
- 2=4√(2)*(cosx)^3
- 2=4sqrt(2)*(cosx)3
- 2=4sqrt2*cosx3
- 2=4sqrt(2)*(cosx)³
- 2=4sqrt(2)*(cosx) en el grado 3
- 2=4sqrt(2)(cosx)^3
- 2=4sqrt(2)(cosx)3
- 2=4sqrt2cosx3
- 2=4sqrt2cosx^3
2=4sqrt(2)*(cosx)^3 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$2 = 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)}$$
cambiamos
$$- 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
$$- 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$- 4 \sqrt{2} w^{3} + 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{4 \sqrt{2}} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{2}$$
o
$$2^{\frac{5}{6}} w = \sqrt[3]{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2^(5/6)
Obtenemos la respuesta: w = sqrt(2)/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
donde
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$2 = 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)}$$
cambiamos
$$- 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
$$- 4 \sqrt{2} \cos^{3}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$- 4 \sqrt{2} w^{3} + 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{4 \sqrt{2}} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{2}$$
o
$$2^{\frac{5}{6}} w = \sqrt[3]{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
w*2^5/6 = 2^(1/3)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
w*2^5/6 = 2^1/3
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2^(5/6)
w = 2^(1/3) / (2^(5/6))
Obtenemos la respuesta: w = sqrt(2)/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
donde
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Respuesta rápida
[src]
pi
x1 = --
4
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
7*pi
x2 = ----
4
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{4}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||
x3 = - re|acos|- ----- - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- - -------||
\ \ 4 4 // \ \ 4 4 //
$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||
x4 = - re|acos|- ----- + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- + -------||
\ \ 4 4 // \ \ 4 4 //
$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||
x5 = I*im|acos|- ----- - -------|| + re|acos|- ----- - -------||
\ \ 4 4 // \ \ 4 4 //
$$x_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||
x6 = I*im|acos|- ----- + -------|| + re|acos|- ----- + -------||
\ \ 4 4 // \ \ 4 4 //
$$x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}$$
x6 = re(acos(-sqrt(2)/4 + sqrt(6)*i/4)) + i*im(acos(-sqrt(2)/4 + sqrt(6)*i/4))
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ pi 7*pi | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 || -- + ---- + - re|acos|- ----- - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- - -------|| + - re|acos|- ----- + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- + -------|| + I*im|acos|- ----- - -------|| + re|acos|- ----- - -------|| + I*im|acos|- ----- + -------|| + re|acos|- ----- + -------|| 4 4 \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 // \ \ 4 4 //
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(\left(\frac{\pi}{4} + \frac{7 \pi}{4}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right)\right)$$
=
6*pi
$$6 \pi$$
producto
/ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ pi 7*pi | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| --*----*|- re|acos|- ----- - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- - -------|||*|- re|acos|- ----- + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- ----- + -------|||*|I*im|acos|- ----- - -------|| + re|acos|- ----- - -------|||*|I*im|acos|- ----- + -------|| + re|acos|- ----- + -------||| 4 4 \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 ///
$$\frac{\pi}{4} \frac{7 \pi}{4} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right)$$
=
/ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\
2 | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 ||| | | | \/ 2 I*\/ 6 || | | \/ 2 I*\/ 6 |||
7*pi *|I*im|acos|- ----- - -------|| + re|acos|- ----- - -------|||*|I*im|acos|- ----- + -------|| + re|acos|- ----- + -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- ----- - -------|| + re|acos|- ----- - -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- ----- + -------|| + re|acos|- ----- + -------|||
\ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 /// \ \ \ 4 4 // \ \ 4 4 ///
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
$$\frac{7 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4} \right)}\right)}\right)}{16}$$
7*pi^2*(i*im(acos(-sqrt(2)/4 - i*sqrt(6)/4)) + re(acos(-sqrt(2)/4 - i*sqrt(6)/4)))*(i*im(acos(-sqrt(2)/4 + i*sqrt(6)/4)) + re(acos(-sqrt(2)/4 + i*sqrt(6)/4)))*(-2*pi + i*im(acos(-sqrt(2)/4 - i*sqrt(6)/4)) + re(acos(-sqrt(2)/4 - i*sqrt(6)/4)))*(-2*pi + i*im(acos(-sqrt(2)/4 + i*sqrt(6)/4)) + re(acos(-sqrt(2)/4 + i*sqrt(6)/4)))/16
Respuesta numérica
[src]
x1 = -43.1968989868597
x2 = 51.0508806208341
x3 = -88.7499924639117
x4 = 99.7455667514759
x5 = 69.9004365423729
x6 = -80.8960108299372
x7 = 32.2013246992954
x8 = -25.9181393921158
x9 = 1224.43573673662
x10 = -38.484510006475
x11 = 68.329640215578
x12 = 74.6128255227576
x13 = -63.6172512351933
x14 = -55.7632696012188
x15 = 88.7499924639117
x16 = -478.307481509046
x17 = 19.6349540849362
x18 = 11.7809724509617
x19 = 25.9181393921158
x20 = 55.7632696012188
x21 = -24.3473430653209
x22 = -13.3517687777566
x23 = 382.488905574557
x24 = 30.6305283725005
x25 = -82.4668071567321
x26 = 0.785398163397448
x27 = -95.0331777710912
x28 = 49.4800842940392
x29 = -0.785398163397448
x30 = 5.49778714378214
x31 = 87.1791961371168
x32 = 63.6172512351933
x33 = 157.865030842887
x34 = -5.49778714378214
x35 = -44.7676953136546
x36 = -87.1791961371168
x37 = -76.1836218495525
x38 = -68.329640215578
x39 = 18.0641577581413
x40 = -62.0464549083984
x41 = -18.0641577581413
x42 = 82.4668071567321
x43 = 132.732289614169
x44 = -11.7809724509617
x45 = 38.484510006475
x46 = 43.1968989868597
x47 = 44.7676953136546
x48 = -19.6349540849362
x49 = 7.06858347057703
x50 = 62.0464549083984
x51 = 76.1836218495525
x52 = -32.2013246992954
x53 = 24.3473430653209
x54 = 95.0331777710912
x55 = 237.975643509427
x56 = -49.4800842940392
x57 = -93.4623814442964
x58 = -69.9004365423729
x59 = 1188.30742122034
x60 = -36.9137136796801
x61 = -99.7455667514759
x61 = -99.7455667514759