Sr Examen

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x^6=-3

x^6=-3 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 6     
x  = -3
x6=−3x^{6} = -3
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x6=−3x^{6} = -3
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 y miembro libre = -3 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z6=−3z^{6} = -3
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r6e6ip=−3r^{6} e^{6 i p} = -3
donde
r=36r = \sqrt[6]{3}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e6ip=−1e^{6 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(6p)+cos⁡(6p)=−1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(6p)=−1\cos{\left(6 p \right)} = -1
y
sin⁡(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
entonces
p=πN3+π6p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−36iz_{1} = - \sqrt[6]{3} i
z2=36iz_{2} = \sqrt[6]{3} i
z3=−3232−36i2z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
z4=−3232+36i2z_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
z5=3232−36i2z_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
z6=3232+36i2z_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−36ix_{1} = - \sqrt[6]{3} i
x2=36ix_{2} = \sqrt[6]{3} i
x3=−3232−36i2x_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
x4=−3232+36i2x_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
x5=3232−36i2x_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
x6=3232+36i2x_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-100100
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
        6 ___
x1 = -I*\/ 3
x1=−36ix_{1} = - \sqrt[6]{3} i 
       6 ___
x2 = I*\/ 3
x2=36ix_{2} = \sqrt[6]{3} i 
        2/3     6 ___
       3      I*\/ 3 
x3 = - ---- - -------
        2        2
x3=−3232−36i2x_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2} 
        2/3     6 ___
       3      I*\/ 3 
x4 = - ---- + -------
        2        2
x4=−3232+36i2x_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2} 
      2/3     6 ___
     3      I*\/ 3 
x5 = ---- - -------
      2        2
x5=3232−36i2x_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2} 
      2/3     6 ___
     3      I*\/ 3 
x6 = ---- + -------
      2        2
x6=3232+36i2x_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2} 
x6 = 3^(2/3)/2 + 3^(1/6)*i/2
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                         2/3     6 ___      2/3     6 ___    2/3     6 ___    2/3     6 ___
    6 ___     6 ___     3      I*\/ 3      3      I*\/ 3    3      I*\/ 3    3      I*\/ 3 
- I*\/ 3  + I*\/ 3  + - ---- - ------- + - ---- + ------- + ---- - ------- + ---- + -------
                         2        2         2        2       2        2       2        2
((3232−36i2)+(((−3232−36i2)+(−36i+36i))+(−3232+36i2)))+(3232+36i2)\left(\left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(- \sqrt[6]{3} i + \sqrt[6]{3} i\right)\right) + \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
                 /   2/3     6 ___\ /   2/3     6 ___\ / 2/3     6 ___\ / 2/3     6 ___\
   6 ___   6 ___ |  3      I*\/ 3 | |  3      I*\/ 3 | |3      I*\/ 3 | |3      I*\/ 3 |
-I*\/ 3 *I*\/ 3 *|- ---- - -------|*|- ---- + -------|*|---- - -------|*|---- + -------|
                 \   2        2   / \   2        2   / \ 2        2   / \ 2        2   /
−36i36i(−3232−36i2)(−3232+36i2)(3232−36i2)(3232+36i2)- \sqrt[6]{3} i \sqrt[6]{3} i \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) 
=
3
33 
3
Respuesta numérica [src] 
x1 = 1.04004191152595 - 0.600468477588001*i
x2 = -1.04004191152595 - 0.600468477588001*i
x3 = -1.200936955176*i
x4 = 1.200936955176*i
x5 = -1.04004191152595 + 0.600468477588001*i
x6 = 1.04004191152595 + 0.600468477588001*i
x6 = 1.04004191152595 + 0.600468477588001*i
Gráfico
x^6=-3 la ecuación
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