Sr Examen

Otras calculadoras


z^4+1=0

z^4+1=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 4        
z  + 1 = 0
$$z^{4} + 1 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{4} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
    ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
  \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
    2        2          2        2        2        2        2        2   
$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
|  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
\    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
1
Respuesta rápida [src]
         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2   
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z2 = - ----- + -------
         2        2   
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z3 = ----- - -------
       2        2   
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z4 = ----- + -------
       2        2   
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
z4 = sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2
Respuesta numérica [src]
z1 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
Gráfico
z^4+1=0 la ecuación