Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación z^4+1=0
-
Ecuación cos(x)^2=1
-
Ecuación x^2+9x+20=0
-
Ecuación x^2+5x+4=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -10*x+9*y=-6
- 14*x-16*y=14
- 2*x+18*y=20
- -4*x+18*y=-14
- Derivada de:
-
z^4+1
-
Expresiones idénticas
- z^ cuatro + uno = cero
- z en el grado 4 más 1 es igual a 0
- z en el grado cuatro más uno es igual a cero
- z4+1=0
- z⁴+1=0
- z^4+1=O
-
Expresiones semejantes
- z^4-1=0
z^4+1=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{4} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z^{4} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{4} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ | \/ 2 I*\/ 2 | | \/ 2 I*\/ 2 | |\/ 2 I*\/ 2 | |\/ 2 I*\/ 2 | |- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
1
Respuesta rápida
[src]
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z1 = - ----- - -------
2 2
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z2 = - ----- + -------
2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z3 = ----- - -------
2 2
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z4 = ----- + -------
2 2
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
z4 = sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
Gráfico