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z^4+1=0

z^4+1=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 4        
z  + 1 = 0
z4+1=0z^{4} + 1 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z4+1=0z^{4} + 1 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w4=−1w^{4} = -1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r4e4ip=−1r^{4} e^{4 i p} = -1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e4ip=−1e^{4 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(4p)=−1\cos{\left(4 p \right)} = -1
y
sin⁡(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
entonces
p=πN2+π4p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=−22−2i2w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}
w2=−22+2i2w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}
w3=22−2i2w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}
w4=22+2i2w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=−22−2i2z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}
z2=−22+2i2z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}
z3=22−2i2z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}
z4=22+2i2z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0020
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
    ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
  \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
    2        2          2        2        2        2        2        2
((22−2i2)+((−22−2i2)+(−22+2i2)))+(22+2i2)\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
/    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
|  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
\    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /
(−22−2i2)(−22+2i2)(22−2i2)(22+2i2)\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) 
=
1
11 
1
Respuesta rápida [src] 
         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2
z1=−22−2i2z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} 
         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z2 = - ----- + -------
         2        2
z2=−22+2i2z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} 
       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z3 = ----- - -------
       2        2
z3=22−2i2z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} 
       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z4 = ----- + -------
       2        2
z4=22+2i2z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} 
z4 = sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2
Respuesta numérica [src] 
z1 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
Gráfico
z^4+1=0 la ecuación
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