Sr Examen

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x^10=7 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 10    
x   = 7
x10=7x^{10} = 7
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Solución detallada
Tenemos la ecuación
x10=7x^{10} = 7
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 10 - contiene un número par 10 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 10 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x1010=710\sqrt[10]{x^{10}} = \sqrt[10]{7}
x1010=(−1)710\sqrt[10]{x^{10}} = \left(-1\right) \sqrt[10]{7}
o
x=710x = \sqrt[10]{7}
x=−710x = - \sqrt[10]{7}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 7^1/10

Obtenemos la respuesta: x = 7^(1/10)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -7^1/10

Obtenemos la respuesta: x = -7^(1/10)
o
x1=−710x_{1} = - \sqrt[10]{7}
x2=710x_{2} = \sqrt[10]{7}

Las demás 8 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z10=7z^{10} = 7
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r10e10ip=7r^{10} e^{10 i p} = 7
donde
r=710r = \sqrt[10]{7}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e10ip=1e^{10 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(10p)+cos⁡(10p)=1i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(10p)=1\cos{\left(10 p \right)} = 1
y
sin⁡(10p)=0\sin{\left(10 p \right)} = 0
entonces
p=πN5p = \frac{\pi N}{5}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−710z_{1} = - \sqrt[10]{7}
z2=710z_{2} = \sqrt[10]{7}
z3=−7104+57104−710i58+58z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
z4=−7104+57104+710i58+58z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
z5=7104+57104−710i58−58z_{5} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
z6=7104+57104+710i58−58z_{6} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
z7=−57104−7104−710i58−58z_{7} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
z8=−57104−7104+710i58−58z_{8} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
z9=−57104+7104−710i58+58z_{9} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
z10=−57104+7104+710i58+58z_{10} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−710x_{1} = - \sqrt[10]{7}
x2=710x_{2} = \sqrt[10]{7}
x3=−7104+57104−710i58+58x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
x4=−7104+57104+710i58+58x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
x5=7104+57104−710i58−58x_{5} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
x6=7104+57104+710i58−58x_{6} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
x7=−57104−7104−710i58−58x_{7} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
x8=−57104−7104+710i58−58x_{8} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
x9=−57104+7104−710i58+58x_{9} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
x10=−57104+7104+710i58+58x_{10} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
Gráfica
05-15-10-51015050000000000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
      10___
x1 = -\/ 7
x1=−710x_{1} = - \sqrt[10]{7} 
     10___
x2 = \/ 7
x2=710x_{2} = \sqrt[10]{7} 
                                          ___________
       10___     ___ 10___               /       ___ 
       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x3 = - ----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8
x3=−7104+57104−710i58+58x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
                                          ___________
       10___     ___ 10___               /       ___ 
       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x4 = - ----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8
x4=−7104+57104+710i58+58x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
                                        ___________
     10___     ___ 10___               /       ___ 
     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x5 = ----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - - ----- 
       4          4                \/    8     8
x5=7104+57104−710i58−58x_{5} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
                                        ___________
     10___     ___ 10___               /       ___ 
     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x6 = ----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - - ----- 
       4          4                \/    8     8
x6=7104+57104+710i58−58x_{6} = \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
                                          ___________
       10___     ___ 10___               /       ___ 
       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x7 = - ----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8
x7=−57104−7104−710i58−58x_{7} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
                                          ___________
       10___     ___ 10___               /       ___ 
       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x8 = - ----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8
x8=−57104−7104+710i58−58x_{8} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
                                        ___________
     10___     ___ 10___               /       ___ 
     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x9 = ----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - + ----- 
       4          4                \/    8     8
x9=−57104+7104−710i58+58x_{9} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
                                         ___________
      10___     ___ 10___               /       ___ 
      \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
x10 = ----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - + ----- 
        4          4                \/    8     8
x10=−57104+7104+710i58+58x_{10} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
x10 = -sqrt(5)*7^(1/10)/4 + 7^(1/10)/4 + 7^(1/10)*i*sqrt(sqrt(5)/8 + 5/8)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                                                       ___________                                        ___________                                      ___________                                      ___________                                        ___________                                        ___________                                      ___________                                      ___________
                    10___     ___ 10___               /       ___      10___     ___ 10___               /       ___    10___     ___ 10___               /       ___    10___     ___ 10___               /       ___      10___     ___ 10___               /       ___      10___     ___ 10___               /       ___    10___     ___ 10___               /       ___    10___     ___ 10___               /       ___ 
  10___   10___     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5       \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5     \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  
- \/ 7  + \/ 7  + - ----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - + -----  + - ----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - + -----  + ----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - - -----  + ----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - - -----  + - ----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - - -----  + - ----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - - -----  + ----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - + -----  + ----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - + ----- 
                      4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8        4          4                \/    8     8        4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8          4          4                \/    8     8        4          4                \/    8     8        4          4                \/    8     8
((−57104+7104−710i58+58)+(((−57104−7104−710i58−58)+(((7104+57104−710i58−58)+(((−710+710)+(−7104+57104−710i58+58))+(−7104+57104+710i58+58)))+(7104+57104+710i58−58)))+(−57104−7104+710i58−58)))+(−57104+7104+710i58+58)\left(\left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(\frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[10]{7} + \sqrt[10]{7}\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} - \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt[10]{7}}{4} + \frac{\sqrt[10]{7}}{4} + \sqrt[10]{7} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) 
=
0
00 
producto
             /                                     ___________\ /                                     ___________\ /                                   ___________\ /                                   ___________\ /                                     ___________\ /                                     ___________\ /                                   ___________\ /                                   ___________\
             |  10___     ___ 10___               /       ___ | |  10___     ___ 10___               /       ___ | |10___     ___ 10___               /       ___ | |10___     ___ 10___               /       ___ | |  10___     ___ 10___               /       ___ | |  10___     ___ 10___               /       ___ | |10___     ___ 10___               /       ___ | |10___     ___ 10___               /       ___ |
 10___ 10___ |  \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |\/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |\/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |  \/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |\/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  | |\/ 7    \/ 5 *\/ 7      10___    /  5   \/ 5  |
-\/ 7 *\/ 7 *|- ----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - + ----- |*|- ----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - + ----- |*|----- + ----------- - I*\/ 7 *  /   - - ----- |*|----- + ----------- + I*\/ 7 *  /   - - ----- |*|- ----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - - ----- |*|- ----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - - ----- |*|----- - ----------- - I*\/ 7 *  /   - + ----- |*|----- - ----------- + I*\/ 7 *  /   - + ----- |
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=
-7
−7-7 
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Respuesta numérica [src] 
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