Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación x^3-x^2-x-1=0
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Ecuación 12-4(x-3)=39-9x
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Ecuación 0,2x+2,7=1,4-1,1x
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Ecuación x^2=2x+8
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -11*x-14*y=-3
- -9*x-1*y=6
- -2*x+2*y=4
- -11*x-3*y=14
-
Expresiones idénticas
- (- uno -i*(tres ^ uno / dos)/ dos)^ tres = uno
- ( menos 1 menos i multiplicar por (3 en el grado 1 dividir por 2) dividir por 2) al cubo es igual a 1
- ( menos uno menos i multiplicar por (tres en el grado uno dividir por dos) dividir por dos) en el grado tres es igual a uno
- (-1-i*(31/2)/2)3=1
- -1-i*31/2/23=1
- (-1-i*(3^1/2)/2)³=1
- (-1-i*(3 en el grado 1/2)/2) en el grado 3=1
- (-1-i(3^1/2)/2)^3=1
- (-1-i(31/2)/2)3=1
- -1-i31/2/23=1
- -1-i3^1/2/2^3=1
- (-1-i*(3^1 dividir por 2) dividir por 2)^3=1
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Expresiones semejantes
- (-1+i*(3^1/2)/2)^3=1
- (1-i*(3^1/2)/2)^3=1
(-1-i*(3^1/2)/2)^3=1 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3 / ___\ | i*\/ 3 | |-1 - -------| = 1 \ 2 /
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} i - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1 = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Transportamos los términos libres (sin i)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -sqrt(3)/2
Obtenemos la respuesta: i = -4*sqrt(3)/3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
$$i = - \frac{2 \sqrt{3} \left(z + 1\right)}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$i_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
$$i_{3} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} i - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1 = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 - i*sqrt3/2 = 1
Transportamos los términos libres (sin i)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -sqrt(3)/2
i = 2 / (-sqrt(3)/2)
Obtenemos la respuesta: i = -4*sqrt(3)/3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
$$i = - \frac{2 \sqrt{3} \left(z + 1\right)}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$i_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
$$i_{3} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ ___
4*\/ 3 \/ 3 \/ 3
- ------- + I - ----- + -I - -----
3 3 3
$$\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} - i\right) + \left(- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} + i\right)\right)$$
=
___ -2*\/ 3
$$- 2 \sqrt{3}$$
producto
___ / ___\ / ___\ -4*\/ 3 | \/ 3 | | \/ 3 | --------*|I - -----|*|-I - -----| 3 \ 3 / \ 3 /
$$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} + i\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} - i\right)$$
=
___
-16*\/ 3
---------
9
$$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$$
-16*sqrt(3)/9
Respuesta rápida
[src]
___
-4*\/ 3
i1 = --------
3
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
___
\/ 3
i2 = I - -----
3
$$i_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + i$$
___
\/ 3
i3 = -I - -----
3
$$i_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} - i$$
i3 = -sqrt(3)/3 - i
Respuesta numérica
[src]
i1 = -0.577350269189626 - 1.0*i
i2 = -0.577350269189626 + 1.0*i
i3 = -2.3094010767585
i3 = -2.3094010767585