Tenemos la ecuación
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} i - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1 = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 - i*sqrt3/2 = 1
Transportamos los términos libres (sin i)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -sqrt(3)/2
i = 2 / (-sqrt(3)/2)
Obtenemos la respuesta: i = -4*sqrt(3)/3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
$$i = - \frac{2 \sqrt{3} \left(z + 1\right)}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$i_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
$$i_{3} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$