Sr Examen

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(-1-i*(3^1/2)/2)^3=1 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
              3    
/         ___\     
|     i*\/ 3 |     
|-1 - -------|  = 1
\        2   /     
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1\right)^{3} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} i - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
o
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1 = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 - i*sqrt3/2 = 1

Transportamos los términos libres (sin i)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{3} i}{2} = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -sqrt(3)/2
i = 2 / (-sqrt(3)/2)

Obtenemos la respuesta: i = -4*sqrt(3)/3

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = - \frac{\sqrt{3} i}{2} - 1$$
$$i = - \frac{2 \sqrt{3} \left(z + 1\right)}{3}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$i_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
$$i_{3} = - \frac{2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)}{3}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
      ___         ___          ___
  4*\/ 3        \/ 3         \/ 3 
- ------- + I - ----- + -I - -----
     3            3            3  
$$\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} - i\right) + \left(- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} + i\right)\right)$$
=
     ___
-2*\/ 3 
$$- 2 \sqrt{3}$$
producto
     ___ /      ___\ /       ___\
-4*\/ 3  |    \/ 3 | |     \/ 3 |
--------*|I - -----|*|-I - -----|
   3     \      3  / \       3  /
$$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} + i\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{3} - i\right)$$
=
      ___
-16*\/ 3 
---------
    9    
$$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$$
-16*sqrt(3)/9
Respuesta rápida [src]
          ___
     -4*\/ 3 
i1 = --------
        3    
$$i_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
           ___
         \/ 3 
i2 = I - -----
           3  
$$i_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + i$$
            ___
          \/ 3 
i3 = -I - -----
            3  
$$i_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} - i$$
i3 = -sqrt(3)/3 - i
Respuesta numérica [src]
i1 = -0.577350269189626 - 1.0*i
i2 = -0.577350269189626 + 1.0*i
i3 = -2.3094010767585
i3 = -2.3094010767585