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x^4-x=0

x^4-x=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 4        
x  - x = 0
x4−x=0x^{4} - x = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x4−x=0x^{4} - x = 0
Evidentemente:
x0 = 0

luego,
cambiamos
1x3=1\frac{1}{x^{3}} = 1
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
11x33=113\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}
o
x=1x = 1
Obtenemos la respuesta: x = 1

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
1z3=1\frac{1}{z^{3}} = 1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
e−3ipr3=1\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = 1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e−3ip=1e^{- 3 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
−isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=1- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
y
−sin⁡(3p)=0- \sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=−2πN3p = - \frac{2 \pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=1z_{1} = 1
z2=−12−3i2z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
z3=−12+3i2z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x0 = 0

x1=1x_{1} = 1
x2=−12−3i2x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
x3=−12+3i2x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
Gráfica
-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-2000020000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
1 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2
(1+(−12−3i2))+(−12+3i2)\left(1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
0*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      2   / \  2      2   /
0(−12−3i2)(−12+3i2)0 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
0
Respuesta rápida [src] 
x1 = 0
x1=0x_{1} = 0 
x2 = 1
x2=1x_{2} = 1 
               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2
x3=−12−3i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 
               ___
       1   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2
x4=−12+3i2x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
x4 = -1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x4 = 0.0
x4 = 0.0
Gráfico
x^4-x=0 la ecuación
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