x^4+x=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x^{4} + x = 0$$
Evidentemente:

x0 = 0

luego,
cambiamos
$$\frac{1}{x^{3}} = -1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-1}}$$
o
$$x = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x = 1^2/3

Obtenemos la respuesta: x = -(-1)^(2/3)

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{3}} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:

x0 = 0

$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$