x^3+4x^2+x-6=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) - 6 = 0$$
cambiamos
$$\left(x + \left(\left(4 x^{2} + \left(x^{3} - 1\right)\right) - 4\right)\right) - 1 = 0$$
o
$$\left(x + \left(\left(4 x^{2} + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) - 4 \cdot 1^{2}\right)\right) - 1 = 0$$
$$\left(x - 1\right) + \left(4 \left(x^{2} - 1^{2}\right) + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$\left(x - 1\right) + \left(\left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(4 \left(x + 1\right) + \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) + 1\right) = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 5 x + 6\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 5 x + 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (6) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -3$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 4*x^2 + x - 6 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -3$$