√(6x-2)-√(3x-2)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{6 x - 2} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{6 x - 2}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(3 x - 2\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(3 x - 2\right) \left(6 x - 2\right)} + 1^{2} \left(6 x - 2\right)\right) = 1$$
o
$$9 x - 2 \sqrt{18 x^{2} - 18 x + 4} - 4 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{18 x^{2} - 18 x + 4} = 5 - 9 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$72 x^{2} - 72 x + 16 = \left(5 - 9 x\right)^{2}$$
$$72 x^{2} - 72 x + 16 = 81 x^{2} - 90 x + 25$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 9 x^{2} + 18 x - 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -9$$
$$b = 18$$
$$c = -9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(18)^2 - 4 * (-9) * (-9) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -18/2/(-9)

$$x_{1} = 1$$

Como
$$\sqrt{18 x^{2} - 18 x + 4} = \frac{9 x}{2} - \frac{5}{2}$$
y
$$\sqrt{18 x^{2} - 18 x + 4} \geq 0$$
entonces
$$\frac{9 x}{2} - \frac{5}{2} \geq 0$$
o
$$\frac{5}{9} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 1$$
comprobamos:
$$x_{1} = 1$$
$$- \sqrt{3 x_{1} - 2} + \sqrt{6 x_{1} - 2} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{-2 + 3} + \sqrt{-2 + 6}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$