Sr Examen

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4y^2+19x^2+18xy=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src]
   2       2             
4*y  + 19*x  + 18*x*y = 0
$$18 x y + \left(19 x^{2} + 4 y^{2}\right) = 0$$
Solución detallada
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 19$$
$$b = 18 y$$
$$c = 4 y^{2}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(18*y)^2 - 4 * (19) * (4*y^2) = 20*y^2

La ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{9 y}{19} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{19}$$
$$x_{2} = - \frac{9 y}{19} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{y^{2}}}{19}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$18 x y + \left(19 x^{2} + 4 y^{2}\right) = 0$$
de
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
como ecuación cuadrática reducida
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{18 x y}{19} + \frac{4 y^{2}}{19} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{18 y}{19}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{4 y^{2}}{19}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{18 y}{19}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{4 y^{2}}{19}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
/         ___\           /         ___\         /         ___\           /         ___\      
|  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |         |  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      
|- -- + -----|*re(y) + I*|- -- + -----|*im(y) + |- -- - -----|*re(y) + I*|- -- - -----|*im(y)
\  19     19 /           \  19     19 /         \  19     19 /           \  19     19 /      
$$\left(\left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}\right) + \left(\left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}\right)$$
=
/         ___\         /         ___\           /         ___\           /         ___\      
|  9    \/ 5 |         |  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      
|- -- - -----|*re(y) + |- -- + -----|*re(y) + I*|- -- - -----|*im(y) + I*|- -- + -----|*im(y)
\  19     19 /         \  19     19 /           \  19     19 /           \  19     19 /      
$$\left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}$$
producto
//         ___\           /         ___\      \ //         ___\           /         ___\      \
||  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      | ||  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      |
||- -- + -----|*re(y) + I*|- -- + -----|*im(y)|*||- -- - -----|*re(y) + I*|- -- - -----|*im(y)|
\\  19     19 /           \  19     19 /      / \\  19     19 /           \  19     19 /      /
$$\left(\left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}\right) \left(\left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}\right)$$
=
                   2
4*(I*im(y) + re(y)) 
--------------------
         19         
$$\frac{4 \left(\operatorname{re}{\left(y\right)} + i \operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}}{19}$$
4*(i*im(y) + re(y))^2/19
Respuesta rápida [src]
     /         ___\           /         ___\      
     |  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      
x1 = |- -- + -----|*re(y) + I*|- -- + -----|*im(y)
     \  19     19 /           \  19     19 /      
$$x_{1} = \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} + \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}$$
     /         ___\           /         ___\      
     |  9    \/ 5 |           |  9    \/ 5 |      
x2 = |- -- - -----|*re(y) + I*|- -- - -----|*im(y)
     \  19     19 /           \  19     19 /      
$$x_{2} = \left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{re}{\left(y\right)} + i \left(- \frac{9}{19} - \frac{\sqrt{5}}{19}\right) \operatorname{im}{\left(y\right)}$$
x2 = (-9/19 - sqrt(5)/19)*re(y) + i*(-9/19 - sqrt(5)/19)*im(y)