x.diff(x)-2*x*y=e^(x^2) la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Resolución de la ecuación paramétrica
Se da la ecuación con parámetro:
− 2 x y + { x for 0 = 1 1 for 1 = 1 0 otherwise = e x 2 - 2 x y + \begin{cases} x & \text{for}\: 0 = 1 \\1 & \text{for}\: 1 = 1 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} = e^{x^{2}} − 2 x y + ⎩ ⎨ ⎧ x 1 0 for 0 = 1 for 1 = 1 otherwise = e x 2 Коэффициент при y равен
− 2 x - 2 x − 2 x entonces son posibles los casos para x :
x < 0 x < 0 x < 0 x = 0 x = 0 x = 0 Consideremos todos los casos con detalles:
Con
x < 0 x < 0 x < 0 la ecuación será
2 y + { − 1 for 0 = 1 1 for 1 = 1 0 otherwise − e = 0 2 y + \begin{cases} -1 & \text{for}\: 0 = 1 \\1 & \text{for}\: 1 = 1 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} - e = 0 2 y + ⎩ ⎨ ⎧ − 1 1 0 for 0 = 1 for 1 = 1 otherwise − e = 0 su solución
y = − 1 2 + e 2 y = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2} y = − 2 1 + 2 e Con
x = 0 x = 0 x = 0 la ecuación será
{ 0 for 0 = 1 1 for 1 = 1 0 otherwise − 1 = 0 \begin{cases} 0 & \text{for}\: 0 = 1 \\1 & \text{for}\: 1 = 1 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} - 1 = 0 ⎩ ⎨ ⎧ 0 1 0 for 0 = 1 for 1 = 1 otherwise − 1 = 0 su solución
cualquiera y
/ / 2 2 \ 2 2 \ / 2 2 \ 2 2
| | re (x) - im (x)| re (x) - im (x) | | re (x) - im (x)| re (x) - im (x)
| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*im(x) e *re(x)*sin(2*im(x)*re(x))| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*re(x) e *im(x)*sin(2*im(x)*re(x))
y1 = I*|- ----------------------------------------------- - -----------------------------------------| + ----------------------------------------------- - -----------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/ / 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/
y 1 = ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) + i ( − ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) y_{1} = \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} + i \left(- \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)}\right) - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} y 1 = 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) + i − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x )
y1 = (-exp(re(x)^2 - im(x)^2)*cos(2*re(x)*im(x)) + 1)*re(x)/(2*(re(x)^2 + im(x)^2)) + i*(-(-exp(re(x)^2 - im(x)^2)*cos(2*re(x)*im(x)) + 1)*im(x)/(2*(re(x)^2 + im(x)^2)) - exp(re(x)^2 - im(x)^2)*sin(2*re(x)*im(x))*re(x)/(2*(re(x)^2 + im(x)^2))) - exp(re(x)^2 - im(x)^2)*sin(2*re(x)*im(x))*im(x)/(2*(re(x)^2 + im(x)^2))
Suma y producto de raíces
[src]
/ / 2 2 \ 2 2 \ / 2 2 \ 2 2
| | re (x) - im (x)| re (x) - im (x) | | re (x) - im (x)| re (x) - im (x)
| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*im(x) e *re(x)*sin(2*im(x)*re(x))| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*re(x) e *im(x)*sin(2*im(x)*re(x))
I*|- ----------------------------------------------- - -----------------------------------------| + ----------------------------------------------- - -----------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/ / 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/
( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) + i ( − ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} + i \left(- \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)}\right) - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) + i − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x )
/ / 2 2 \ 2 2 \ / 2 2 \ 2 2
| | re (x) - im (x)| re (x) - im (x) | | re (x) - im (x)| re (x) - im (x)
| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*im(x) e *re(x)*sin(2*im(x)*re(x))| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*re(x) e *im(x)*sin(2*im(x)*re(x))
I*|- ----------------------------------------------- - -----------------------------------------| + ----------------------------------------------- - -----------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/ / 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/
( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) + i ( − ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} + i \left(- \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)}\right) - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) + i − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x )
/ / 2 2 \ 2 2 \ / 2 2 \ 2 2
| | re (x) - im (x)| re (x) - im (x) | | re (x) - im (x)| re (x) - im (x)
| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*im(x) e *re(x)*sin(2*im(x)*re(x))| \1 - cos(2*im(x)*re(x))*e /*re(x) e *im(x)*sin(2*im(x)*re(x))
I*|- ----------------------------------------------- - -----------------------------------------| + ----------------------------------------------- - -----------------------------------------
| / 2 2 \ / 2 2 \ | / 2 2 \ / 2 2 \
\ 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/ / 2*\im (x) + re (x)/ 2*\im (x) + re (x)/
( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) + i ( − ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} + i \left(- \frac{\left(- e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} + 1\right) \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)}\right) - \frac{e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) re ( x ) + i − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) ( − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) + 1 ) im ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) − 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x )
// 2 2 \ 2 2 \ / 2 2 \ 2 2
|| re (x) - im (x)| re (x) - im (x) | | re (x) - im (x)| re (x) - im (x)
I*\\-1 + cos(2*im(x)*re(x))*e /*im(x) - e *re(x)*sin(2*im(x)*re(x))/ - \-1 + cos(2*im(x)*re(x))*e /*re(x) - e *im(x)*sin(2*im(x)*re(x))
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/ 2 2 \
2*\im (x) + re (x)/
i ( ( e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) − 1 ) im ( x ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) ) − ( e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) − 1 ) re ( x ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x ) 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) \frac{i \left(\left(e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} - 1\right) \operatorname{im}{\left(x\right)} - e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)}\right) - \left(e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} - 1\right) \operatorname{re}{\left(x\right)} - e^{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2}\right)} 2 ( ( re ( x ) ) 2 + ( im ( x ) ) 2 ) i ( ( e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) − 1 ) im ( x ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) re ( x ) ) − ( e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 cos ( 2 re ( x ) im ( x ) ) − 1 ) re ( x ) − e ( re ( x ) ) 2 − ( im ( x ) ) 2 sin ( 2 re ( x ) im ( x ) ) im ( x )
(i*((-1 + cos(2*im(x)*re(x))*exp(re(x)^2 - im(x)^2))*im(x) - exp(re(x)^2 - im(x)^2)*re(x)*sin(2*im(x)*re(x))) - (-1 + cos(2*im(x)*re(x))*exp(re(x)^2 - im(x)^2))*re(x) - exp(re(x)^2 - im(x)^2)*im(x)*sin(2*im(x)*re(x)))/(2*(im(x)^2 + re(x)^2))
Ecuación x^2+3x=4
Ecuación -24-y=-16
Ecuación (11x+14)-(5x-8)=25
Ecuación 4(x-6)=x-9
e^(x^2)
e^(x^2)
e^(x^2)