Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación -x=16
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Ecuación (|x|)=-5
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Ecuación 1-4y^2=0
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Ecuación 2*3^(x+1)-3^x=15
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -17*x+9*y=-18
- -19*x-4*y=5
- -8*x-1*y=9
- 4*x+4*y=13
- Integral de d{x}:
- -32
-
Expresiones idénticas
- (x+ dos)^ cinco =- treinta y dos
- (x más 2) en el grado 5 es igual a menos 32
- (x más dos) en el grado cinco es igual a menos treinta y dos
- (x+2)5=-32
- x+25=-32
- (x+2)⁵=-32
- x+2^5=-32
-
Expresiones semejantes
- 7-3(2x+1)=10
- (x-2)^5=-32
- (x+2)^2=(x-3)^2
- (x+2)^5=+32
(x+2)^5=-32 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(x + 2\right)^{5} = -32$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 5 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[5]{\left(x + 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
o
$$x + 2 = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2 + 2 \sqrt[5]{-1}$$
Obtenemos la respuesta: x = -2 + 2*(-1)^(1/5)
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x + 2$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{5} = -32$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{3}{2} - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$\left(x + 2\right)^{5} = -32$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 5 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[5]{\left(x + 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
o
$$x + 2 = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
2 + x = -2*1^1/5
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2 + 2 \sqrt[5]{-1}$$
Obtenemos la respuesta: x = -2 + 2*(-1)^(1/5)
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x + 2$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{5} = -32$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{3}{2} - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___________ ___________ ___________ ___________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
3 \/ 5 / 5 \/ 5 3 \/ 5 / 5 \/ 5 3 \/ 5 / 5 \/ 5 3 \/ 5 / 5 \/ 5
-4 + - - - ----- - 2*I* / - + ----- + - - - ----- + 2*I* / - + ----- + - - + ----- - 2*I* / - - ----- + - - + ----- + 2*I* / - - -----
2 2 \/ 8 8 2 2 \/ 8 8 2 2 \/ 8 8 2 2 \/ 8 8
$$\left(\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(-4 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
=
-10
$$-10$$
producto
/ ___________\ / ___________\ / ___________\ / ___________\ | ___ / ___ | | ___ / ___ | | ___ / ___ | | ___ / ___ | | 3 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 3 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 3 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 3 \/ 5 / 5 \/ 5 | -4*|- - - ----- - 2*I* / - + ----- |*|- - - ----- + 2*I* / - + ----- |*|- - + ----- - 2*I* / - - ----- |*|- - + ----- + 2*I* / - - ----- | \ 2 2 \/ 8 8 / \ 2 2 \/ 8 8 / \ 2 2 \/ 8 8 / \ 2 2 \/ 8 8 /
$$- 4 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
=
-64
$$-64$$
-64
Respuesta rápida
[src]
x1 = -4
$$x_{1} = -4$$
___________
___ / ___
3 \/ 5 / 5 \/ 5
x2 = - - - ----- - 2*I* / - + -----
2 2 \/ 8 8
$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
___________
___ / ___
3 \/ 5 / 5 \/ 5
x3 = - - - ----- + 2*I* / - + -----
2 2 \/ 8 8
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
___________
___ / ___
3 \/ 5 / 5 \/ 5
x4 = - - + ----- - 2*I* / - - -----
2 2 \/ 8 8
$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
___________
___ / ___
3 \/ 5 / 5 \/ 5
x5 = - - + ----- + 2*I* / - - -----
2 2 \/ 8 8
$$x_{5} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
x5 = -3/2 + sqrt(5)/2 + 2*i*sqrt(5/8 - sqrt(5)/8)
Respuesta numérica
[src]
x1 = -0.381966011250105 - 1.17557050458495*i
x2 = -0.381966011250105 + 1.17557050458495*i
x3 = -2.61803398874989 + 1.90211303259031*i
x4 = -4.0
x5 = -2.61803398874989 - 1.90211303259031*i
x5 = -2.61803398874989 - 1.90211303259031*i
Gráfico