Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 3^x=7
-
Ecuación 2+3x=-7x-5
-
Ecuación 3-x/3=x/2
-
Ecuación 3/(x-5)+8/x=2
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -11*x-3*y=14
- -20*x-6*y=4
- 2*x-15*y=-1
- 8*x+3*y=4
-
Expresiones idénticas
- z^ tres - ocho *i= cero
- z al cubo menos 8 multiplicar por i es igual a 0
- z en el grado tres menos ocho multiplicar por i es igual a cero
- z3-8*i=0
- z³-8*i=0
- z en el grado 3-8*i=0
- z^3-8i=0
- z3-8i=0
- z^3-8*i=O
-
Expresiones semejantes
- z^3+8*i=0
z^3-8*i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} - 8 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
o
$$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = 2*i^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = 8 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
$$z^{3} - 8 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
o
$$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = 2*i^1/3
Obtenemos la respuesta: z = 2*i^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = 8 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - 8 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - 8 i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - 8 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - 8 i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
z1 = -2*I
$$z_{1} = - 2 i$$
___ z2 = I - \/ 3
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
___ z3 = I + \/ 3
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
z3 = sqrt(3) + i
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ -2*I + I - \/ 3 + I + \/ 3
$$\left(- 2 i + \left(- \sqrt{3} + i\right)\right) + \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ -2*I*\I - \/ 3 /*\I + \/ 3 /
$$- 2 i \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
8*I
$$8 i$$
8*i
Respuesta numérica
[src]
z1 = 1.73205080756888 + 1.0*i
z2 = -1.73205080756888 + 1.0*i
z3 = -2.0*i
z3 = -2.0*i