z^3+27*i=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$z^{3} + 27 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 27 i}$$
o
$$z = 3 \sqrt[3]{- i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

z = -3*i^1/3

Obtenemos la respuesta: z = 3*(-i)^(1/3)

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 27 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 27 i$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 3 i$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 3 i$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$