Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
- Ecuación z^3+27*i=0
-
Ecuación x^2-13x+36=0
- Ecuación x+2y=7
-
Ecuación (2-x)^2=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -20*x+18*y=-11
- 15*x-14*y=19
- -20*x-18*y=-11
- -6*x-17*y=14
-
Expresiones idénticas
- z^ tres + veintisiete *i= cero
- z al cubo más 27 multiplicar por i es igual a 0
- z en el grado tres más veintisiete multiplicar por i es igual a cero
- z3+27*i=0
- z³+27*i=0
- z en el grado 3+27*i=0
- z^3+27i=0
- z3+27i=0
- z^3+27*i=O
-
Expresiones semejantes
- z^3-27*i=0
z^3+27*i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} + 27 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 27 i}$$
o
$$z = 3 \sqrt[3]{- i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = 3*(-i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 27 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 27 i$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 3 i$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 3 i$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z^{3} + 27 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 27 i}$$
o
$$z = 3 \sqrt[3]{- i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -3*i^1/3
Obtenemos la respuesta: z = 3*(-i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - 27 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 27 i$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 3 i$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 3 i$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27 i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27 i$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
3*I 3*\/ 3 3*I 3*\/ 3
3*I + - --- - ------- + - --- + -------
2 2 2 2
$$\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + 3 i\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\
| 3*I 3*\/ 3 | | 3*I 3*\/ 3 |
3*I*|- --- - -------|*|- --- + -------|
\ 2 2 / \ 2 2 /
$$3 i \left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right)$$
=
-27*I
$$- 27 i$$
-27*i
Respuesta rápida
[src]
z1 = 3*I
$$z_{1} = 3 i$$
___
3*I 3*\/ 3
z2 = - --- - -------
2 2
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
___
3*I 3*\/ 3
z3 = - --- + -------
2 2
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
z3 = 3*sqrt(3)/2 - 3*i/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = 3.0*i
z2 = 2.59807621135332 - 1.5*i
z3 = -2.59807621135332 - 1.5*i
z3 = -2.59807621135332 - 1.5*i