x^6=3 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x^{6} = 3$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{3}$$
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{3}$$
o
$$x = \sqrt[6]{3}$$
$$x = - \sqrt[6]{3}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x = 3^1/6

Obtenemos la respuesta: x = 3^(1/6)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x = -3^1/6

Obtenemos la respuesta: x = -3^(1/6)
o
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = 3$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = 3$$
donde
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$