3*sin^2(x)-2*cos(x)+2=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = 0$$
cambiamos
$$- 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 5 = 0$$
$$- 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = -2$$
$$c = 5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (-3) * (5) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$w_{2} = 1$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{3} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi$$