x^3+x^2+x+1=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) + 1 = 0$$
cambiamos
$$\left(x + \left(\left(x^{2} + \left(x^{3} + 1\right)\right) - 1\right)\right) + 1 = 0$$
o
$$\left(x + \left(\left(x^{2} + \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) - \left(-1\right)^{2}\right)\right) + 1 = 0$$
$$\left(x + 1\right) + \left(\left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$\left(x + 1\right) + \left(\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(\left(x - 1\right) + \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) + 1\right) = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = - i$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + x^2 + x + 1 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = - i$$