Sr Examen

Otras calculadoras

z^6+64=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 6         
z  + 64 = 0
z6+64=0z^{6} + 64 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z6+64=0z^{6} + 64 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 y miembro libre = -64 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w6=−64w^{6} = -64
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r6e6ip=−64r^{6} e^{6 i p} = -64
donde
r=2r = 2
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e6ip=−1e^{6 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(6p)+cos⁡(6p)=−1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(6p)=−1\cos{\left(6 p \right)} = -1
y
sin⁡(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
entonces
p=πN3+π6p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=−2iw_{1} = - 2 i
w2=2iw_{2} = 2 i
w3=−3−iw_{3} = - \sqrt{3} - i
w4=−3+iw_{4} = - \sqrt{3} + i
w5=3−iw_{5} = \sqrt{3} - i
w6=3+iw_{6} = \sqrt{3} + i
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=−2iz_{1} = - 2 i
z2=2iz_{2} = 2 i
z3=−3−iz_{3} = - \sqrt{3} - i
z4=−3+iz_{4} = - \sqrt{3} + i
z5=3−iz_{5} = \sqrt{3} - i
z6=3+iz_{6} = \sqrt{3} + i
Respuesta rápida [src] 
z1 = -2*I
z1=−2iz_{1} = - 2 i 
z2 = 2*I
z2=2iz_{2} = 2 i 
            ___
z3 = -I - \/ 3
z3=−3−iz_{3} = - \sqrt{3} - i 
           ___
z4 = I - \/ 3
z4=−3+iz_{4} = - \sqrt{3} + i 
       ___    
z5 = \/ 3  - I
z5=3−iz_{5} = \sqrt{3} - i 
           ___
z6 = I + \/ 3
z6=3+iz_{6} = \sqrt{3} + i 
z6 = sqrt(3) + i
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                    ___         ___     ___             ___
-2*I + 2*I + -I - \/ 3  + I - \/ 3  + \/ 3  - I + I + \/ 3
((3−i)+(((−3−i)+(−2i+2i))+(−3+i)))+(3+i)\left(\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(\left(- \sqrt{3} - i\right) + \left(- 2 i + 2 i\right)\right) + \left(- \sqrt{3} + i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{3} + i\right) 
=
0
00 
producto
         /       ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
-2*I*2*I*\-I - \/ 3 /*\I - \/ 3 /*\\/ 3  - I/*\I + \/ 3 /
−2i2i(−3−i)(−3+i)(3−i)(3+i)- 2 i 2 i \left(- \sqrt{3} - i\right) \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} - i\right) \left(\sqrt{3} + i\right) 
=
64
6464 
64
Respuesta numérica [src] 
z1 = -1.73205080756888 + 1.0*i
z2 = 2.0*i
z3 = -1.73205080756888 - 1.0*i
z4 = 1.73205080756888 + 1.0*i
z5 = 1.73205080756888 - 1.0*i
z6 = -2.0*i
z6 = -2.0*i
    © Sr Examen – Калькулятор