Sqrt(3x+40)-Sqrt(x-3)-7=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(- \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 x + 40}\right) - 7 = 0$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 x + 40} - 7\right)^{2} = 0$$
o
$$1^{2} \left(3 x + 40\right) + \left(- 2 \sqrt{\left(x - 3\right) \left(3 x + 40\right)} + \left(-1\right)^{2} \left(x - 3\right)\right) = 0$$
o
$$4 x - 2 \sqrt{3 x^{2} + 31 x - 120} + 37 = 0$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{3 x^{2} + 31 x - 120} = - 4 x - 37$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$12 x^{2} + 124 x - 480 = \left(- 4 x - 37\right)^{2}$$
$$12 x^{2} + 124 x - 480 = 16 x^{2} + 296 x + 1369$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} - 172 x - 1849 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = -172$$
$$c = -1849$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-172)^2 - 4 * (-4) * (-1849) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = --172/2/(-4)

$$x_{1} = - \frac{43}{2}$$

Como
$$\sqrt{3 x^{2} + 31 x - 120} = 2 x + \frac{37}{2}$$
y
$$\sqrt{3 x^{2} + 31 x - 120} \geq 0$$
entonces
$$2 x + \frac{37}{2} \geq 0$$
o
$$- \frac{37}{4} \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones