(x-2)^4-x^2+4x-76=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(4 x + \left(- x^{2} + \left(x - 2\right)^{4}\right)\right) - 76 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\left(x - 5\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 12\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 5 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x^{2} - 4 x + 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 5
2.
$$x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -1
3.
$$x^{2} - 4 x + 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (12) = -32

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 2 + 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = 2 - 2 \sqrt{2} i$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2 + 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = 2 - 2 \sqrt{2} i$$