Tenemos la ecuación:
$$\left(x^{3} - x\right) - 6 = 0$$
cambiamos
$$\left(- x + \left(x^{3} - 8\right)\right) + 2 = 0$$
o
$$\left(- x + \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) + 2 = 0$$
$$- (x - 2) + \left(x^{3} - 2^{3}\right) = 0$$
$$\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) - \left(x - 2\right) = 0$$
Saquemos el factor común -2 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) - 1\right) = 0$$
o
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 2 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 2$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 2 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (1) * (3) = -8
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = -1 + \sqrt{2} i$$
$$x_{3} = -1 - \sqrt{2} i$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 - x - 6 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{2} i$$
$$x_{3} = -1 - \sqrt{2} i$$