Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$\left(2 x + 1\right)^{2} + 3 = - 4 x \left(2 x + 1\right) + 3$$
en
$$\left(4 x \left(2 x + 1\right) - 3\right) + \left(\left(2 x + 1\right)^{2} + 3\right) = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(4 x \left(2 x + 1\right) - 3\right) + \left(\left(2 x + 1\right)^{2} + 3\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$12 x^{2} + 8 x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 12$$
$$b = 8$$
$$c = 1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(8)^2 - 4 * (12) * (1) = 16
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$