Tenemos la ecuación:
$$\left(- 5 \cdot 2^{x - 1} + 4^{x - \frac{1}{2}}\right) + 3 = 0$$
o
$$\left(- 5 \cdot 2^{x - 1} + 4^{x - \frac{1}{2}}\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$\frac{v^{2}}{2} - \frac{5 v}{2} + 3 = 0$$
o
$$\frac{v^{2}}{2} - \frac{5 v}{2} + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = - \frac{5}{2}$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-5/2)^2 - 4 * (1/2) * (3) = 1/4
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = 2$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$