(x-3)*(x+5)/x+6=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$6 + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + 8 x - 15}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 8 x - 15 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + 8 x - 15 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = -15$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (1) * (-15) = 124

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -4 + \sqrt{31}$$
$$x_{2} = - \sqrt{31} - 4$$
pero

x no es igual a 0

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -4 + \sqrt{31}$$
$$x_{2} = - \sqrt{31} - 4$$