tg^3x-tg^2x-3tgx+3=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(\left(\tan^{3}{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)}\right) - 3 \tan{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$\tan^{3}{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(\left(\tan^{3}{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)}\right) - 3 \tan{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$w^{3} - w^{2} - 3 w + 3 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 3 w + \left(\left(- w^{2} + \left(w^{3} - 1\right)\right) + 1\right)\right) + 3 = 0$$
o
$$\left(- 3 w + \left(\left(- w^{2} + \left(w^{3} - 1^{3}\right)\right) + 1^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
$$- 3 \left(w - 1\right) + \left(- (w^{2} - 1^{2}) + \left(w^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 3 \left(w - 1\right) + \left(- (w - 1) \left(w + 1\right) + \left(w - 1\right) \left(\left(w^{2} + w\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + w fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(w - 1\right) \left(\left(- (w + 1) + \left(\left(w^{2} + w\right) + 1^{2}\right)\right) - 3\right) = 0$$
o
$$\left(w - 1\right) \left(w^{2} - 3\right) = 0$$
entonces:
$$w_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$w^{2} - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-3) = 12

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{2} = \sqrt{3}$$
$$w_{3} = - \sqrt{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es para tan(x)^3 - tan(x)^2 - 3*tan(x) + 3 = 0:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = \sqrt{3}$$
$$w_{3} = - \sqrt{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$