Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación cot(x)=-1
-
Ecuación z^3+27=0
-
Ecuación k^2-1=0
-
Ecuación 5x^2-25x=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 9*x-8*y=6
- 2*x-5*y=-5
- 20*x-10*y=-13
- 1*x+5*y=-17
- Factorizar el polinomio:
- z^3+27
-
Expresiones idénticas
- z^ tres + veintisiete = cero
- z al cubo más 27 es igual a 0
- z en el grado tres más veintisiete es igual a cero
- z3+27=0
- z³+27=0
- z en el grado 3+27=0
- z^3+27=O
-
Expresiones semejantes
- z^3-27=0
z^3+27=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} + 27 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
o
$$z = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = 3*(-1)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = -27$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z^{3} + 27 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
o
$$z = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -3*1^1/3
Obtenemos la respuesta: z = 3*(-1)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = -27$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27$$
Respuesta rápida
[src]
z1 = -3
$$z_{1} = -3$$
___
3 3*I*\/ 3
z2 = - - ---------
2 2
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
___
3 3*I*\/ 3
z3 = - + ---------
2 2
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
z3 = 3/2 + 3*sqrt(3)*i/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
-3 + - - --------- + - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-3 + \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ |3 3*I*\/ 3 | |3 3*I*\/ 3 | -3*|- - ---------|*|- + ---------| \2 2 / \2 2 /
$$- 3 \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-27
$$-27$$
-27
Respuesta numérica
[src]
z1 = 1.5 + 2.59807621135332*i
z2 = 1.5 - 2.59807621135332*i
z3 = -3.0
z3 = -3.0
Gráfico