Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación (7-x)^2=(x+16)^2
-
Ecuación x/9+x=-10/3
-
Ecuación (x-2)^2+(x-3)^2=2x^2
-
Ecuación sin(x)=3/4
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x+18*y=-7
- -6*x-2*y=-10
- 7*x+20*y=-17
- 7*x-6*y=-9
-
Expresiones idénticas
- z^ tres - veintisiete = cero
- z al cubo menos 27 es igual a 0
- z en el grado tres menos veintisiete es igual a cero
- z3-27=0
- z³-27=0
- z en el grado 3-27=0
- z^3-27=O
-
Expresiones semejantes
- z^3+27=0
z^3-27=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} - 27 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
o
$$z = 3$$
Obtenemos la respuesta: z = 3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = 27$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z^{3} - 27 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
o
$$z = 3$$
Obtenemos la respuesta: z = 3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = 27$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -27$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -27$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
3 + - - - --------- + - - + ---------
2 2 2 2
$$\left(3 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ | 3 3*I*\/ 3 | | 3 3*I*\/ 3 | 3*|- - - ---------|*|- - + ---------| \ 2 2 / \ 2 2 /
$$3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
27
$$27$$
27
Respuesta rápida
[src]
z1 = 3
$$z_{1} = 3$$
___
3 3*I*\/ 3
z2 = - - - ---------
2 2
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
___
3 3*I*\/ 3
z3 = - - + ---------
2 2
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
z3 = -3/2 + 3*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = 3.0
z2 = -1.5 + 2.59807621135332*i
z3 = -1.5 - 2.59807621135332*i
z3 = -1.5 - 2.59807621135332*i
Gráfico