Sr Examen

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z^3-27=0

z^3-27=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 3         
z  - 27 = 0
z327=0z^{3} - 27 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z327=0z^{3} - 27 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
z33=273\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{27}
o
z=3z = 3
Obtenemos la respuesta: z = 3

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w3=27w^{3} = 27
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=27r^{3} e^{3 i p} = 27
donde
r=3r = 3
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=1e^{3 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
es decir
cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
y
sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=3w_{1} = 3
w2=3233i2w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
w3=32+33i2w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=3z_{1} = 3
z2=3233i2z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
z3=32+33i2z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=27v = -27
Fórmulas de Cardano-Vieta
z1+z2+z3=pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
z1z2z3=27z_{1} z_{2} z_{3} = -27
Gráfica
-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.017.5-25002500
Suma y producto de raíces [src]
suma
                ___               ___
      3   3*I*\/ 3      3   3*I*\/ 3 
3 + - - - --------- + - - + ---------
      2       2         2       2    
(3+(3233i2))+(32+33i2)\left(3 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)
=
0
00
producto
  /            ___\ /            ___\
  |  3   3*I*\/ 3 | |  3   3*I*\/ 3 |
3*|- - - ---------|*|- - + ---------|
  \  2       2    / \  2       2    /
3(3233i2)(32+33i2)3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)
=
27
2727
27
Respuesta rápida [src]
z1 = 3
z1=3z_{1} = 3
                 ___
       3   3*I*\/ 3 
z2 = - - - ---------
       2       2    
z2=3233i2z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
                 ___
       3   3*I*\/ 3 
z3 = - - + ---------
       2       2    
z3=32+33i2z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
z3 = -3/2 + 3*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src]
z1 = 3.0
z2 = -1.5 + 2.59807621135332*i
z3 = -1.5 - 2.59807621135332*i
z3 = -1.5 - 2.59807621135332*i
Gráfico
z^3-27=0 la ecuación