Tenemos la ecuación z3−27=0 Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces la ecuación tendrá una raíz real. Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación: Obtenemos: 3z3=327 o z=3 Obtenemos la respuesta: z = 3
Las demás 2 raíces son complejas. hacemos el cambio: w=z entonces la ecuación será así: w3=27 Cualquier número complejo se puede presentar que: w=reip sustituimos en la ecuación r3e3ip=27 donde r=3 - módulo del número complejo Sustituyamos r: e3ip=1 Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p isin(3p)+cos(3p)=1 es decir cos(3p)=1 y sin(3p)=0 entonces p=32πN donde N=0,1,2,3,... Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w Es decir, la solución será para w: w1=3 w2=−23−233i w3=−23+233i hacemos cambio inverso w=z z=w
Entonces la respuesta definitiva es: z1=3 z2=−23−233i z3=−23+233i
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida pz2+qz+v+z3=0 donde p=ab p=0 q=ac q=0 v=ad v=−27 Fórmulas de Cardano-Vieta z1+z2+z3=−p z1z2+z1z3+z2z3=q z1z2z3=v z1+z2+z3=0 z1z2+z1z3+z2z3=0 z1z2z3=−27