Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 8*x=2
-
Ecuación 3^x=81
-
Ecuación x^2=12
-
Ecuación -27x+220=-5x
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x-1*y=-3
- -11*x+9*y=-20
- 9*x+17*y=13
- -17*x+2*y=9
- Derivada de:
-
-1
- Límite de la función:
-
-1
- Forma canónica:
- -1
-
Expresiones idénticas
- tan4(x)=- uno
- tangente de 4(x) es igual a menos 1
- tangente de 4(x) es igual a menos uno
- tan4x=-1
-
Expresiones semejantes
- tan(4*x)=sqrt(3)
- tan4(x)=+1
- tan(24*x)+tan(4*x)=0
- tan(4*x-pi/5)=sqrt(3)
- tan((4*x+pi)/4)=sqrt(3)/3
tan4(x)=-1 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\tan^{4}{\left(x \right)} = -1$$
cambiamos
$$\tan^{4}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\tan^{4}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{4} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{4} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$\tan^{4}{\left(x \right)} = -1$$
cambiamos
$$\tan^{4}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\tan^{4}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$w^{4} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{4} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
Respuesta rápida
[src]
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||
x1 = - re|atan|----- - -------|| - I*im|atan|----- - -------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{1} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||
x2 = I*im|atan|----- - -------|| + re|atan|----- - -------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||
x3 = - re|atan|----- + -------|| - I*im|atan|----- + -------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}$$
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||
x4 = I*im|atan|----- + -------|| + re|atan|----- + -------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}$$
x4 = re(atan(sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2)) + i*im(atan(sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2))
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\
| |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||
- re|atan|----- - -------|| - I*im|atan|----- - -------|| + I*im|atan|----- - -------|| + re|atan|----- - -------|| + - re|atan|----- + -------|| - I*im|atan|----- + -------|| + I*im|atan|----- + -------|| + re|atan|----- + -------||
\ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 // \ \ 2 2 //
$$\left(\left(\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ / / / ___ ___\\ / / ___ ___\\\ | | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||| | | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||| | | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||| | | |\/ 2 I*\/ 2 || | |\/ 2 I*\/ 2 ||| |- re|atan|----- - -------|| - I*im|atan|----- - -------|||*|I*im|atan|----- - -------|| + re|atan|----- - -------|||*|- re|atan|----- + -------|| - I*im|atan|----- + -------|||*|I*im|atan|----- + -------|| + re|atan|----- + -------||| \ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 /// \ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 /// \ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 /// \ \ \ 2 2 // \ \ 2 2 ///
$$\left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
2 2 / / / ___ \\ / / ___ \\\ / / / ___ \\ / / ___ \\\ | | |\/ 2 *(1 + I)|| | |\/ 2 *(1 + I)||| | | |\/ 2 *(1 - I)|| | |\/ 2 *(1 - I)||| |I*im|atan|-------------|| + re|atan|-------------||| *|I*im|atan|-------------|| + re|atan|-------------||| \ \ \ 2 // \ \ 2 /// \ \ \ 2 // \ \ 2 ///
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2} \right)}\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2} \right)}\right)}\right)^{2}$$
(i*im(atan(sqrt(2)*(1 + i)/2)) + re(atan(sqrt(2)*(1 + i)/2)))^2*(i*im(atan(sqrt(2)*(1 - i)/2)) + re(atan(sqrt(2)*(1 - i)/2)))^2
Respuesta numérica
[src]
x1 = -0.785398163397448 + 0.440686793509772*i
x2 = 0.785398163397448 - 0.440686793509772*i
x3 = -0.785398163397448 - 0.440686793509772*i
x4 = 0.785398163397448 + 0.440686793509772*i
x4 = 0.785398163397448 + 0.440686793509772*i