x^3=x^2-7*x+7 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$x^{3} = \left(x^{2} - 7 x\right) + 7$$
cambiamos
$$\left(7 x + \left(\left(- x^{2} + \left(x^{3} - 1\right)\right) + 1\right)\right) - 7 = 0$$
o
$$\left(7 x + \left(\left(- x^{2} + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) + 1^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
$$7 \left(x - 1\right) + \left(- (x^{2} - 1^{2}) + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$7 \left(x - 1\right) + \left(- (x - 1) \left(x + 1\right) + \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(- (x + 1) + \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) + 7\right) = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 7\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 7 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 7$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (7) = -28

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \sqrt{7} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{7} i$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 - x^2 + 7*x - 7 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \sqrt{7} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{7} i$$