x^3+6*x^2-9*x-54=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(- 9 x + \left(x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) - 54 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 9 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} - 27\right)\right) - 54\right)\right) + 27 = 0$$
o
$$\left(- 9 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} - 3^{3}\right)\right) - 6 \cdot 3^{2}\right)\right) + 3 \cdot 9 = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(6 \left(x^{2} - 3^{2}\right) + \left(x^{3} - 3^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right) + 6 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -3 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 3\right) \left(\left(6 \left(x + 3\right) + \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right)\right) - 9\right) = 0$$
o
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 9 x + 18\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 3$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 9 x + 18 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = 18$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (1) * (18) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -6$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 6*x^2 - 9*x - 54 = 0:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -6$$