(x-12)^3=-27 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(x - 12\right)^{3} = -27$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 12\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
o
$$x - 12 = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-12 + x = -3*1^1/3

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 12 + 3 \sqrt[3]{-1}$$
Obtenemos la respuesta: x = 12 + 3*(-1)^(1/3)

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x - 12$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -27$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
donde
$$r = 3$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x - 12$$
$$x = z + 12$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = \frac{27}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{27}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$